Forte de frecare

La miscarea unui corp printr-un fluid in repaus apare o forta de frecare orientata pe aceeasi directie ca viteza corpului, dar in sens opus. Pentru viteze mici, modulul fortei de frecare este direct proportional cu modulul vitezei. In acest caz, putem scrie

(Ec. 1)

constanta b fiind pozitiva. Ecuatia precedenta este valabila si cind viteza este zero (corpul este in repaus): atunci forta de frecare este nula. Acest tip de frecare este numita uneori frecare viscoasa.
Desi exprimarea fortei de frecare este simpla, aplicarea legii fundamentale a dinamicii conduce la o ecuatie diferentiala care nu poate fi rezolvata cu notiunile de matematica cunoscute de elevi in timpul liceului. Un astfel de exemplu este caderea unui corp in cimp gravitational, cu luarea in consideratie a frecarii cu aerul. Desi marimea vitezei limita poate fi calculata usor egalind marimea greutatii cu marimea fortei de frecare, dependentele de timp ale pozitiei si vitezei nu pot fi obtinute decit prin rezolvare ecuatiei diferentiale

(Ec. 2)

In cazul deplasarii unui corp solid pe o suprafata solida, lucrurile stau cu totul altfel. Cind corpul se misca, alunecind pe suprafata, forta de frecare la alunecare asupra corpului este orientata, deasemenea, in sens invers vitezei dar marimea ei, pentru viteze mici, nu depinde de marimea vitezei. Marimea fortei de frecare depinde, insa, de marimea N a fortelor de interactiune normala intre cele doua suprafete (pereche de forte care impiedica trecerea corpurilor unul prin celalalt), fiind direct proportionala cu aceasta

(Ec. 3)

Factorul de proportionalitate m_c este numit coeficient de frecare la alunecare sau coeficient de frecare cinetic. Relatia anterioara nu este respectata cind viteza este zero (corpul este in repaus). La viteza zero, forta de frecare este data de alta relatie, asa cum vom vedea in paragraful urmator..

Cind corpul este in repaus pe suprafata solida, poate aparea o forta de frecare, numita forta de frecare de repaus. Aceasta se intimpla cind asupra corpului actioneaza o forta externa neta diferita de zero, tangenta la suprafata de contact. In absenta frecarii, aceasta forta ar produce o acceleratie si corpul ar incepe sa se miste. Forta de frecare de repaus are orientarea opusa acestei forte nete iar marimea ei este atita cit este neesar pentru pastrarea repausului, dar nu mai mult decit o valoare maxima. Marimea maxima a fortei de frecare de repaus este direct proportionala cu forta de interactiune normala

(Ec. 4)

Factorul m_s este numit coeficient de frecare de repaus sau coeficient de frecare static. In general, coeficientul de frecare de repaus este un pic mai mare decit cel de alunecare. Observind un corp in repaus, nu putem sti cit este forta de frecare de repaus decit daca cunoastem si celelalte forte care actioneaza asupra sa.

Faptul ca ecuatiile (3) si (4) sunt asemanatoare iar in multe probleme se considera ca cei doi coeficienti de frecare m_s si m_c sunt egali, face ca multi sa contopeasca nejustificat cele doua forte intr-una singura, uitind ca forta de frecare de repaus are marimea intre zero si m_s^.N iar forta de frecare de alunecare are marimea exact m_d^.N .

Distinctia intre frecarea la alunecare si frecarea de repaus reiese clar cind ne intrebam unde se va opri un oscilator alcatuit dintr-un corp de masa m si un resort elastic de constanta k, in prezenta frecarii.

Stim ca, in timpul oscilatiilor, viteza schimba semnul la punctele de intoarcere, trecind prin valoarea zero. In aceste puncte, pentru o durata infinit de scurta, corpul se opreste. Intrebarea noastra se refera, insa, la oprirea "definitiva", intr-o pozitie pe care corpul nu o mai paraseste. Aceasta nu se poate intimpla decit daca forta totala este zero.

Asadar, conditia de oprire definitiva este forta totala zero intr-o pozitie in care viteza a ajuns la zero. Daca forta de frecare este una "viscoasa", atunci la viteza zero forta de frecare este nula. Forta totala nu poate fi zero decit daca forta din partea resortului este zero. Aceasta nu se intimpla decit la pozitia x_nedef in care resortul nu este deformat. Oprirea definitiva va avea loc, deci, in aceasta pozitie.


Rezolvarea ecuatiei diferentiale rezultate prin aplicarea legii fundamentale arata ca ampltudinea oscilatiilor scade in timp spre zero, dupa o lege exponentiala. Strict vorbind, pentru modelul idealizat pe care l-am analizat, oprirea are loc dupa un timp infinit.

Daca frecarea este intre doua suprafete solide, repausul nu inseamna automat o forta de frecare nula. Astfel, conditia de forta totala nula poate fi indeplinita si in alte pozitii decit x_nedef. Este suficient doar ca modulul fortei din partea resortului sa fie mai mic decit m_s^.N. Aceasta se intimpla pe o intreaga regiune in jurul lui x_nedef, unde modulul deformarii este mai mic decit m_s^.N/k.

Corpul se poate opri definitiv oriunde in aceasta regiune daca viteza ajunge la zero acolo. Datorita frecarii, energia totala scade in timp si corpul intoarce din ce in ce mai aproape de x_o. Cind viteza devine zero pentru prima data in regiunea de oprire (specificata mai sus), corpul nu mai poate parasi aceasta pozitie.


Forta de frecare evolueaza in timp asa cum arata graficul precedent, avind discontinuitati (salturi instantanee). In pozitia finala ea trece brusc exact la valoarea necesara pentru a compensa forta din partea resortului.

Pozitia din regiunea de oprire in care corpul se opreste "definitiv" depinde de conditiile initiale. In problema rezolvata pe care o gasiti aici, corpul porneste din repaus de la o pozitie initiala in care resortul este alungit si este calculata pozitia de oprire in functie de pozitia initiala. Pentru simplificare, coeficientul de frecare statica este considerat egal cu cel de frecare cinetica. Se arata acolo ca distanta punctelor de intoarcere fata de pozitia in care resortul este nedeformat scade intr-o progresie aritmetica. Din acest motiv, in figura anterioara, punctele de intoarcere se gasesc pe doua linii drepte cu pante opuse, egale in modul.